Question

（2006•西城区二模）如图，正四棱锥S-ABCD中，E是侧棱SC的中点，异面直线SA和BC所成角的
大小是60°．
（1）求证：直线SA∥平面BDE；
（2）求二面角A-SB-D的大小；
（3）求直线BD和平面SBC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连AC交BD于点O，连结SO，OE，以O为坐标原点，OA，OB，OS所在直线为x，y，z轴建立空间坐标系，在平面BDE内找一向量使得向量

SA

与其共线，则可证明线面平行；
（2）分别求出二面角A-SB-D的两个半平面所在平面的法向量，利用法向量所成的角求解二面角的大小；
（3）求出平面SBC的一个法向量，利用向量

BD

与法向量所成的角求直线BD和平面SBC所成角的大小．

解答：（1）证明：连AC交BD于点O，连结SO，OE．
根据正四棱锥的性质，得SO⊥面ABCD．以OA、OB、OS所在射线分别作为非负x轴、非负y轴、非负z轴建立空间直角坐标系．
因为异面直线SA和BC所成角的大小是60°，AD∥BC，所以∠SAD=60°，
因而△SDA是等边三角形，根据正棱锥的性质，得△SDC，△SBA，△SBC也是等边三角形．设AB=a，
则A(

2

2

a，0，0)，S(0，0，

2

2

a)，E(-

2

4

a，0，

2

4

a)，B(0，

2

2

a，0)
因为

.

AS

=(-

2

2

a，0，

2

2

a)，

.

OE

=(-

2

4

a，0，

2

4

a)，所以

.

AS

=2

.

OE

，所以AS∥OE．

又OE?面BDE，AS?面BDE，
所以AS∥面BDE．
（2）设

n1

=(x1，y1，z1)是平面SAB的法向量．
则由

n1 • . AS =0 n1 • . AB =0

，得

- 2 2 ax1+ 2 2 az1=0 - 2 2 ax1+ 2 2 ay1=0

取x₁=1，得

n1

=(1，1，1)．
因为OA⊥SO，且OA⊥BD，所以

.

OA

是平面SBD的法向量．
则cos＜

n1

，

.

AO

＞=

n1 • . OA

| n1 |•| . AO |

=

2 2 a

3 • 2 2 a

=

3

3

．
所以二面角A-SB-D的大小是arccos

3

3

．
（3）设

n2

=(x2，y2，z2)是平面SBC的法向量．
则由

n2 • SB =0 n2 • BC =0

，得

2 2 ay2- 2 2 az2=0 - 2 2 ax2- 2 2 ay2=0

，取x₂=1，得

n2

=(1，-1，-1)，
又

BD

=(0，-

2

a，0)．则cos＜

BD

，

n2

＞=

BD • n2

| BD |•| n2 |

=

2 a

2 a• 3

=

3

3

，
设BD和平面SBC所成的角的大小为α，则sinα=

3

3

，
即直线BD和平面SBC所成的角为arcsin

3

3

．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了线面角和二面角的求法，利用空间向量求空间角的大小能起到事半功倍的效果，是中档题．