Question

已知点M(-2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=，记动点P的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）若A、B是曲线C上不同的两点，O是坐标原点，求的最小值．

Answer 1

解：（1）由题意知点P的轨迹是双曲线（a>0，b>0）的右半支，其中实半轴长a=，焦半距c=2，
∴ b²=c²-a²=2，
于是C的方程为(x>0)．          ……………………4分
（2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，．
若AB⊥x轴，此时x₁=x₂，y₁=-y₂，
∴ =x₁x₂+y₁y₂=．
∵ (x₁，y₁)在双曲线C上，
∴ =2，
即 =2．                          ……………………6分
若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+b，
由得(1-k²)x²-2kbx-b²-2=0．
∵ A、B是双曲线右支上不同的两点，
∴ 1-k²≠0，且Δ>0，x₁x₂=>0，x₁+x₂=>0，
即 可解得0<k²-1<(b≠0)．
……………………8分
∵ y₁y₂=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²=，
∴ =x₁x₂+y₁y₂=+==2+．
又∵ k²-1>0，从而>2．
综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2． …………………10分

略