Question

【题目】已知函数.

（1）如是函数的极值点，求实数的值并讨论的单调性；

（2）若是函数的极值点，且恒成立，求实数的取值范围（注：已知常数满足）.

Answer 1

【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由是函数的极值点，得可得得值，由导数和单调性的关系得其单调区间；（2）由题意知，设，知得单调递增，即是在上的唯一零点，得，，使得即可，结合，得参数范围.

试题解析：（1）∵是函数的极值点，∴.

∴，.

令，，

∴在上单调递增，，.

∴当，；当，.

∴在上单调递减，在上单调递增，

此时，当时，取极小值.

（2），设，

则.∴在上单调递增，

∴在上单调递增.

∵是函数的极值点，

∴是在上的唯一零点，

∴.

∵，，

，，

∴在上单调递减，在上单调递增，∴有最小值.

∴.

∵恒成立，

∴，∴，

∴.∵，∴，

∴，

.