Question

（2011•重庆三模）一个边长为2b的正△ABC内接于椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，顶点A的坐标为（0，b），且高在y轴上，则椭圆的离心率为

3

-1

．

Answer 1

分析：根据题中的条件可得：B（-b，b-

3

b），C（b，b-

3

b），再结合点B在椭圆上得到

b2

a2

=2

3

-3，进而利用a，b，c之间的关系得到答案．

解答：解：如图所示：

因为边长为2b的正三角形ABC的顶点A是（0，b），并且且高在y轴上，
所以B（-b，b-

3

b），C（b，b-

3

b），
因为点B在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上，所以有

b2

a2

+

(1- 3 )2b2

b2

=1(a＞b＞0)，
解得：

b2

a2

=2

3

-3，
由b²+c²=a²可得：c2=(4-2

3

)a2，
所以e2=(

3

-1)2，所以e=

3

-1．
故答案为：

3

-1．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力与分析问题解决问题的能力，此题属于基础题．