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已知函数f(x)=|ax-2|+bln x(x>0,实数a,b为常数).
(1)若a=1,f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,求b的取值范围;
(2)若a≥2,b=1,求方程f(x)=在(0,1]上解的个数.
(1)[2,+∞).
(2)0
解:(1)当a=1时,
f(x)=|x-2|+bln x

①当0<x<2时,f(x)=-x+2+bln x,
f′(x)=-1+.
由条件得-1+≥0恒成立,即b≥x恒成立.
所以b≥2;
②当x≥2时,f(x)=x-2+bln x,
f′(x)=1+.
由条件得1+≥0恒成立,即b≥-x恒成立.
所以b≥-2.
因为函数f(x)的图像在(0,+∞)上不间断,综合①②得b的取值范围是[2,+∞).
(2)令g(x)=|ax-2|+ln x-,即

当0<x<时,
g(x)=-ax+2+ln x-
g′(x)=-a+.
因为0<x<,所以>
则g′(x)>-a+≥0,
即g′(x)>0,所以g(x)在上是单调增函数;
当x>时,g(x)=ax-2+ln x-
g′(x)=a+>0,
所以g(x)在上是单调增函数.
因为函数g(x)的图像在(0,+∞)上不间断,所以g(x)在(0,+∞)上是单调增函数.
因为g=ln
而a≥2,所以ln≤0,则g<0,
g(1)=|a-2|-1=a-3.
①当a≥3时,因为g(1)≥0,所以g(x)=0在(0,1]上有唯一解,即方程f(x)=解的个数为1;
②当2≤a<3时,因为g(1)<0,所以g(x)=0在(0,1]上无解,即方程f(x)=解的个数为0.
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