Question

在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中点．

（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）详见解析；（2）存在，

试题分析：（1）要 证明//平面，只需在平面内找一条直线与平行，连接交于点，则是的中位线，所以∥，则//平面；（2）（方法一：）先假设满足条件的点存在，由已知的垂直关系，找到二面角的平面角，然后在中计算，并判断是否小于1；（方法二:）找三条两两垂直相交的直线，建立空间直角坐标系，设点的坐标，并分别表示相关点的坐标，分别求两个 半平面的法向量和，再利用空间向量的夹角公式列式，确定点的位置，并判断其是否在线段上.

试题解析：(1)连接,设和交于点，连接，因为∥∥，==，所以四边形是平行四边形，是中点，又因为是中点，所以∥，又平面，平面，所以//平面；
(2)假设在线段上存在点，使二面角的大小为.
(解法一)延长交于点，过点作于，连接，因为四边形是矩形，平面⊥平面，所以⊥平面，又面，所以，则面，，则就是二面角的平面角，则=，中，，，则，所以=，又在中，，故在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.
（解法二）由于四边形是菱形，是的中点，，所以是等边三角形，则,有因为四边形是矩形，平面⊥平面，所以面，如图建立空间直角坐标系，， ，设平面的法向量为，则且，得，令，所以，又平面的法向量，，，解得，
故在线段上存在点，使二面角的大小为，此时的长为.