Question

19．已知函数$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的反函数为f^-1（x）
（1）判断f（x）的单调性并证明；
（2）解关于x的不等式f^-1（x²-2）＜f（x）．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的定义域为：（1，+∞），利用定义法，可证得函数f（x）在（1，+∞）为减函数；
（2）由已知可得f^-1（x）=f（x），故不等式f^-1（x²-2）＜f（x）可化为：f（x²-2）＜f（x），结合（1）中函数的单调性和定义域，可得答案．

解答 解：（1）由a-a^x＞0，0＜a＜1得：x＞1，
故函数$f（x）={log_a}（{a-{a^x}}）（{0＜a＜1}）$的定义域为：（1，+∞），
函数f（x）在（1，+∞）为减函数，理由如下：
任取x₂＞x₁＞1，
则$a-{a}^{{x}_{1}}$＞0，${a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=$lo{g}_{a}（a-{a}^{{x}_{2}}）$-$lo{g}_{a}（a-{a}^{{x}_{1}}）$=$lo{g}_{a}\frac{a-{a}^{{x}_{2}}}{a-{a}^{{x}_{1}}}$=$lo{g}_{a}（1+\frac{{a}^{{x}_{1}}-{a}^{{x}_{2}}}{a-{a}^{{x}_{1}}}）$＜log_a1=0，
∴f（x₂）＜f（x₁），
即函数f（x）在（1，+∞）为减函数，
（2）由已知可得f^-1（x）=f（x），
故不等式f^-1（x²-2）＜f（x）可化为：f（x²-2）＜f（x）．
即x²-2＞x＞1，
解得：x＞2

点评 本题考查的知识点是反函数，函数的单调性的判断与证明，函数单调性的应用，二次不等式的解法，难度中档．