【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PB=PD=2,PA= .
(Ⅰ)求证:BD⊥PC;
(Ⅱ)若E是PA的中点,求三棱锥P﹣BCE的体积.
【答案】证明:(I)连接AC交BD于O点,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,O是BD的中点,
∵PB=PD,∴PO⊥BD,
又AC∩OP=O,AC平面PAC,OP平面PAC,
∴BD⊥平面PAC,又PC平面PAC,
∴BD⊥PC.
(II)∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴BD=AB=AD=2,∴OB=1,OA= ,
∴OP= = ,∴OA2+OP2=PA2 , 即OA⊥OP.
∴S△PCE= S△PAC=S△POA= × = .
∴又OB⊥平面PAC,
∴VP﹣BCE=VB﹣PCE= S△PCEOB= ×1= .
【解析】(I)连接AC交BD于O点,由BD⊥AC,BD⊥OP得出BD⊥平面PAC,故PC⊥BD;(II)利用勾股定理计算OA,OP,证明OA⊥OP,得出三角形PCE的面积,于是VP﹣BCE=VB﹣PCE= S△PCEOP.
【考点精析】利用空间中直线与直线之间的位置关系对题目进行判断即可得到答案,需要熟知相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点.
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【题目】已知抛物线C的顶点为原点,焦点F与圆的圆心重合.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)设定点,当P点在C上何处时,的值最小,并求最小值及点P的坐标;
(3)若弦过焦点,求证:为定值.
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【题目】已知等比数列的前项和为,公比,,.
(1)求等比数列的通项公式;
(2)设,求的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)将已知两式作差,利用等比数列的通项公式,可得公比,由等比数列的求和可得首项,进而得到所求通项公式;(2)求得bn=n,,由裂项相消求和可得答案.
(1)等比数列的前项和为,公比,①,
②.
②﹣①,得,则,
又,所以,
因为,所以,
所以,
所以;
(2),
所以前项和.
【点睛】
裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列,c为常数)的数列. 裂项相消法求和,常见的有相邻两项的裂项求和,还有一类隔一项的裂项求和,如或.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】已知函数的图象上有两点,.函数满足,且.
(1)求证:;
(2)求证:;
(3)能否保证和中至少有一个为正数?请证明你的结论.
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【题目】(12分)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=﹣3.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{an}的前k项和Sk=﹣35,求k的值.
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【题目】给出下列两个命题:命题p1:a,b∈(0,+∞),当a+b=1时, + =4;命题p2:函数y=ln 是偶函数.则下列命题是真命题的是( )
A.p1∧p2
B.p1∧(¬p2)
C.(¬p1)∨p2
D.(¬p1)∨(¬p2)
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【题目】已知函数y=f(x)是R上的偶函数,当x1 , x2∈(0,+∞)时,都有(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0.设 ,则( )
A.f(a)>f(b)>f(c)
B.f(b)>f(a)>f(c)
C.f(c)>f(a)>f(b)
D.f(c)>f(b)>f(a)
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【题目】如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴的正半轴相交于A,B两点(A在B的上方),且AB=3.
(1)求圆C的方程;
(2)直线BT上是否存在点P满足PA2+PB2+PT2=12,若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如果圆C上存在E,F两点,使得射线AB平分∠EAF,求证:直线EF的斜率为定值.
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