Question

16．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左、右焦点分别为F₁，F₂，P为椭圆C上任意一点．
（1）当PF₁⊥PF₂时，PF₁=$\sqrt{2}$，且PF₂所在的弦|PQ|=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，求椭圆C的方程．
（2）若EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任意一条直径，请求$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）可连接QF₁，根据条件便可求出$Q{F}_{1}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$，从而由PF₁+PQ+QF₁=4a便可得出a的值，而根据离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$又可求出c，从而求出b，这样便可得出椭圆的方程；
（2）根据条件知N（0，2），可设P（x，y），从而可以求出${\overrightarrow{NP}}^{2}=-\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}•{y}^{2}-4y+4+{a}^{2}$，而根据向量减法的几何意义及EF为圆的直径便可得到$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}={\overrightarrow{NP}}^{2}-1$，再根据离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$可以得到b=c，从而得出$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=-{y}^{2}-4y+3+{a}^{2}$，这样通过配方便可求出$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$的最大值．

解答 解：（1）如图，连接QF₁；

∵PF₁⊥PF₂，$P{F}_{1}=\sqrt{2}$，$PQ=\frac{4\sqrt{2}}{3}$；
∴$Q{F}_{1}=\frac{5\sqrt{2}}{3}$；
∵PF₁+PF₂+QF₁+QF₂=4a；
∴$\sqrt{2}+\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{5\sqrt{2}}{3}=4a$；
∴$a=\sqrt{2}$；
又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$c=\frac{\sqrt{2}}{2}a=1$；
∴b²=1；
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）由题意可得，N（0，2），设P（x，y），则：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$；
∴${x}^{2}={a}^{2}-\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}•{y}^{2}$；
∴${\overrightarrow{NP}}^{2}={x}^{2}+（y-2）^{2}$=$-\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}•{y}^{2}-4y+4+{a}^{2}$；
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=（\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=$（-\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$
=${\overrightarrow{NP}}^{2}-{\overrightarrow{NF}}^{2}={\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=$-\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}•{y}^{2}-4y+3+{a}^{2}$；
∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$a=\sqrt{2}c$；
∴b²=c²；
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}=-{y}^{2}-4y+3+{a}^{2}$=-（y+2）²+7+a²；
∴y=-2时，$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$取得最大值7+a²．

点评 考查椭圆的标准方程，椭圆的离心率，以及椭圆的焦点，椭圆的定义，圆的标准方程，向量减法的几何意义，向量数量积的运算，相反向量的概念，以及配方求二次函数最值的方法．