Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数a不为零），且同时满足下列条件：
（1）f（-1）=0；
（2）对于任意的实数x，都有f（x）-x≥0；
（3）当x∈（0，2）时有f(x)≤(

x+1

2

)2．
①求f（1）；
②求a，b，c的值；
③当x∈[-1，1]时，函数g（x）=f（x）-mx（m∈R）是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，根据f（1）-1≥0，且f(1)≤(

1+1

2

)2=1，可得f（1）=1．
（2）由f（-1）=0 和f（1）=1，可得 b=

1

2

=a+c，再由f（x）-x≥0，可得 a=c=

1

4

．
（3）由上可得 f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，求出g（x）的解析式，由函数g（x）在[-1，1]上单调可知，
有-

1 2 -m

2× 1 4

≤-1，或-

1 2 -m

2× 1 4

≥1，解不等式求得m的取值范围．

解答：解：（1）当x=1时，由 f（1）-1≥0，且f(1)≤(

1+1

2

)2=1，∴f（1）=1．
（2）设二次函数为f（x）=ax²+bx+c，由f（-1）=0可得a-b+c=0，
而f（1）=1，∴a+b+c=1，解得b=

1

2

，a+c=

1

2

．
又f（x）-x≥0，∴ax²+bx+c-x≥0，化简得 ax²+（b-1）x+c≥0，
∴a＞0且（b-1）²-4ac≤0，把 b=

1

2

，a+c =

1

2

，代入化简可得 (a-

1

4

)2 ≤ 0，
∴a=

1

4

，c=

1

4

．
（3）由上可得 f（x）=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

，∴g(x)=f(x)-mx=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

-mx=

1

4

x2+(

1

2

-m)x+

1

4

，
因为函数g（x）在[-1，1]上单调可知，-

1 2 -m

2× 1 4

≤-1，或-

1 2 -m

2× 1 4

≥1，
解得m≤0，或m≥1．故m的取值范围是{m|m≤0，或m≥1}．

点评：本题考查求函数的值的方法，二次函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出a，b，c的值，是解题的
关键．