Question

（本题满分14分）已知函数(常数.
(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.

Answer 1

解：(Ⅰ)当时，.         …1分
.             又，                         
∴曲线在点处的切线方程为.即.…3分
(Ⅱ)（1）下面先证明：．
设　，则，
且仅当，所以，在上是增函数，故．
所以，，即．　　　…………………………5分
（2）因为，所以.
因为当时，，当时，.
又，所以在上是减函数，在
上是增函数.所以， 　　　…9分
（3）下面讨论函数的零点情况．
①当，即时，函数在上无零点；　
②)当，即时，，则
而，∴在上有一个零点；  
③当，即时， ,
由于，，
，
所以，函数在上有两个零点.　　　　……………………………………13分
综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点.           ………………………………14分
解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数的定义域为，
 .      ………5分
∴当时，，当时，.
在上是减函数，在上是增函数.
        ……………………6分
设（，常数.
∴当时，
且仅当时，在上是增函数.
∴当时，，∴当时，
取，得由此得.       …………9分
取得由此得.      
…10分
(1)当，即时，函数无零点；　 ………………………11分
(2)当，即时，，则 而，
∴函数有一个零点；  …12分  
(3)当即时.而，
∴函数有两个零点. …13分  综上所述，当时，函数无零点，当
时，函数有一个零点，当时，函数有两个零点.  …14分

略