Question

如图，已知椭圆C：（a＞0，b＞0）过点P（），上、下焦点分别为F₁、F₂，向量．直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB中点为m（）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求直线l的方程；
（3）记椭圆在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D，若曲线x²-2mx+y²+4y+m²-4=0与区域D有公共点，试求m的最小值．

Answer 1

解：（1）∵椭圆C：（a＞0，b＞0）过点P（），∴
∵向量，∴4c²=2+（-c）²+2+（-c）²，∴c=2
又a²=b²+c²，∴a²=12，b²=4
∴椭圆方程为
（2）①当斜率k不存在时，由于点M不是线段AB的中点，所以不符合要求；
②当斜率k存在时，设直线l方程为y+=k（x-），代入椭圆方程整理得
（3+k²）x²-（k²+3k）x+k²-=0
∵线段AB中点为m（），∴=
∴k=1
∴直线l：x-y-2=0
（3）化简曲线方程得：（x-m）²+（y+2）²=8，是以（m，-2）为圆心，2为半径的圆．
表示圆心在直线y=-2上，半径为2的动圆．
由于要求实数m的最小值，由图可知，只须考虑m＜0的情形．
当圆与直线相切时，，此时为m=-4，圆心（-4，-2）．
当m=-4时，过点G（-4，-2）与直线l垂直的直线l'的方程为x+y+6=0，
解方程组，得T（-2，-4）．
因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，
所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，即（-1-m）²+（-3+2）²=8，解得m_min=--1．
分析：（1）把点B代入椭圆的方程，利用向量垂直，及几何量之间的关系，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得；
（2）分类讨论，利用线段AB中点坐标，结合韦达定理，可求直线的方程；
（3）把圆的方程整理成标准方程求得圆心和半径，进而利用图象可知只须考虑m＜0的情形．设出圆与直线的切点，利用点到直线的距离求得m，进而可求得过点G与直线l垂直的直线的方程，把两直线方程联立求得T，因为区域D内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1，2，所以切点T∉D，由图可知当⊙G过点B时，m取得最小值，利用两点间的距离公式求得m的最小值．
点评：本题考查椭圆与直线的方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，同时考查了知识的综合运用和数形结合的方法的应用．