Question

（2001•上海）对任意一人非零复数z，定义集合Mz={w|w=zn，n∈N}．
（1）设z是方程x+

1

x

=0的一个根．试用列举法表示集合M_z，若在M_z中任取两个数，求其和为零的概率P；
（2）若集合M_z中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）求出方程的根，即可用列举法表示集合M_z，从而可求概率；
（2）取z=-

1

2

+

3

2

i，可得结论．

解答：解：（1）∵z是方程x²+1=0的根，
∴z₁=i或z₂=-i．
不论z₁=i或z₂=-i，Mz={i，i2，i3，i4}={i，-1，-i，1}．
于是P=

2

C 2 4

=

1

3

．
（2）取z=-

1

2

+

3

2

i，则z2=-

1

2

-

3

2

i及z³=1．
于是Mz={z，z2，z3}．
或取z=-

1

2

-

3

2

i．（说明：只需写出一个正确答案．）

点评：本题考查概率知识，考查列举法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．