Question

（2012•安徽模拟）若对所有正数x、y，不等式

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

都成立，则a的最大值是（　　）

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：根据题意，将

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

变形为（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a，结合基本不等式的性质，可得（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值为4，若（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a恒成立，由不等式的性质分析可得a的最大值，即可得答案．

解答：解：根据题意，x、y＞0，则x+y＞0，

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

?（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a，
而（x+y）（

1

x

+

1

y

）=2+

y

x

+

x

y

≥2+2

y x x y

=4，
即（x+y）（

1

x

+

1

y

）的最小值为4，
若（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a恒成立，必有a≤4，
则a的最大值是4；
故选D．

点评：本题考查不等式的运用，关键是将

1

x

+

1

y

≥

a

x+y

变形为（x+y）（

1

x

+

1

y

）≥a．