Question

已知函数f（x）的定义域为[a，b]，其中0＜-a＜b，则F（x）=f（x）-f（-x）的定义域为    ，若y=log₂（x²-2）的值域为[1，log₂14]，则其定义域为    ．

Answer 1

【答案】分析：要使F（x）=f（x）-f（-x）的解析式有意义，必须满足x∈[a，b]且-x∈[a，b]，由0＜-a＜b构造不等式组，解不等式组可得答案，而y=log₂（x²-2）的值域为[1，log₂14]表示（x²-2）∈[2，14]，构造不等式组即可求出函数的定义域．
解答：解：∵函数f（x）的定义域为[a，b]，
∴要使F（x）=f（x）-f（-x）的解析有意义
则：
即
又∵0＜-a＜b
则-b＜a＜0＜-a＜b
故不等式的解集为：[a，-a]
即函数F（x）=f（x）-f（-x）的定义为：[a，-a]
∵y=log₂（x²-2）的值域为[1，log₂14]
∴2≤x²-2≤14
解得：[-4，-2]∪[2，4]
故答案为：[a，-a]，[-4，-2]∪[2，4]
点评：求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x-a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．