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    （本小题满分14分）
    已知双曲线的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为,其中
    是以4为首项的正数数列,记.
    (Ⅰ)求数列的通项公式; 
    (Ⅱ)若数列的前n项的和为Sn,求;
    (Ⅲ)若不等式+(a>0,且a≠1)对一切自然数n恒成立,求实数x的取值范围.

    解: (Ⅰ)∵双曲线方程为的一个焦点为(,0),∴.
    又∵一条渐近线方程为,∴.∴=2.
    ∵a1=4,∴是以4为首项的等比数列,an=2n+1.∴cn=3·2n.
    (Ⅱ) Sn=c1+c2+…+cn=3(2+22+…+2n)=6(2n－1).
    ∵ancn=3·22n+1,
    ∴
    ∴
    (Ⅲ)T=,①
    T=,②
    ①－②得T=,
    故原不等式等价于 (n∈N*)恒成立,即恒成立,
    ∴≥0恒成立,
    故(ⅰ)当a>1时,x≥1.(ⅱ)当0<a<1时,0<x≤1.

    解析

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    π
    4
    +x)cos(
    π
    4
    +x)    ．
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    π
    2
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