Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，A、B是抛物线C上异于坐标原点O的不同两点，抛物线C在点A、B处的切线分别为l₁、l₂，且l₁⊥l₂，l₁与l₂相交于点D．
（1）求点D的纵坐标；
（2）证明：A、B、F三点共线；
（3）假设点D的坐标为，问是否存在经过A、B两点且与l₁、l₂都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用导数求出切线的斜率，进而求出直线l₁、l₂的方程，通过解它们联立的方程组即可求得求点D的纵坐标；
（2）欲证明：A、B、F三点共线，只须证明它们的斜率k_AF=k_BF．相等即可，也就是要证明k_AF-k_BF=0即可，利用斜率公式结合点在抛物线上可证得；
（3）对于存在性问题，可假设存在，即假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，再分别求出点A、B的坐标，最后求出|AD|和|BD|，看是否与题设矛盾，若不矛盾，则存在，否则不存在．
解答：（1）解：设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∵l₁、l₂分别是抛物线C在点A、B处的切线，
∴直线l₁的斜率，直线l₂的斜率．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-p²．①（2分）
∵A、B是抛物线C上的点，
∴
∴直线l₁的方程为，直线l₂的方程为．
由解得
∴点D的纵坐标为．（4分）

（2）证：∵F为抛物线C的焦点，∴．
∴直线AF的斜率为，
直线BF的斜率为．
∵（6分）====0．
∴k_AF=k_BF．
∴A、B、F三点共线．（8分）
（3）解：不存在．证明如下：
假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M，
依题意得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD．
∴四边形MADB是正方形．
∴|AD|=|BD|．（10分）
∵点D的坐标为，
∴，得p=2．
把点D的坐标代入直线l₁，得
解得x₁=4或x₁=-1，
∴点A的坐标为（4，4）或．
同理可求得点B的坐标为（4，4）或．
由于A、B是抛物线C上的不同两点，不妨令，B（4，4）．
∴，．（13分）
∴|AD|≠|BD|，这与|AD|=|BD|矛盾．
∴经过A、B两点且与l₁、l₂都相切的圆不存在．（14分）
点评：直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等   突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高