Question

设函数f(x)=

2

+2

6

sinxcosx-2

2

sin2x，(x∈R)
（I）对f（x）的图象作如下变换：先将f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式；
（II）已知0＜x1＜

π

2

＜x2＜π，且g(x1)=

6 2

5

，g(x2)=2，求tan（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析：（I）先减函数化简为f（x）=2

2

sin（2x+

π

6

），再利用图象的变换规律，可得函数的解析式；
（II）根据g(x1)=

6 2

5

，g(x2)=2，求得tanx1=

3

4

，tanx₂=-1，再利用和角的正切公式，即可得到结论．

解答：解：（I）函数f(x)=

2

+2

6

sinxcosx-2

2

sin2x=

6

sin2x+

2

cos2x=2

2

sin（2x+

π

6

）
将f（x）的图象向右平移

π

12

个单位，可得y₁=2

2

sin2x，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)=2

2

sinx；
（II）∵g(x1)=

6 2

5

，g(x2)=2
∴2

2

sinx1=

6 2

5

，2

2

sinx2=2
∴sinx1=

3

5

，sinx2=

2

2

∵0＜x1＜

π

2

＜x2＜π
∴cosx1=

4

5

，cosx2=-

2

2

∴tanx1=

3

4

，tanx₂=-1
∴tan(x1+x2)=

3 4 -1

1+ 3 4

=-

1

7

点评：本题考查三角函数的化简，考查图象的变换，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．