Question

已知向量m=（x²，y-cx），n=（1，x+b）（x，y，b，c∈R）且m∥n，把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x）．若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af'（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间（用字母a表示）；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A与B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t）；并求S（t）的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+bx²+cx，∴f'（x）=3x²+2bx+c．…（1分）
∵F（x）=f（x）+af'（x）=x³+（b+3a）x²+（c+2ab）x+ac为奇函数，
由F（-x）=-F（x），可得b+3a=0，ac=0．
∵a＞0，∴b=-3a，c=0．
∴．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=x³-3ax²，
∴f'（x）=3x（x-2a）．
令3x（x-2a）≤0，解得0≤x≤2a．
∴函数f（x）的单调递减区间为[0，2a]
（Ⅲ）当a=2时，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为：
y-f（t）=f'（t）（x-t），
k_AB=f'（t）=3t（t-4）．
联立方程组
化简，得f（x）-f（t）=f'（t）（x-t）．
即x³-6x²-t³+6t²=（3t²-12t）（x-t），（x-t）（x²+xt+t²-6x-6t）=（x-t）（3t²-12t）．
∵A、B不重合，∴x≠t．
∴x²+xt+t²-6x-6t=3t²-12t．
∴x²+（t-6）x-2t²+6t=0．
即（x-t）（x+2t-6）=0．
∵x≠t，∴x=-2t+6．
又另一交点为B（m，f（m）），∴m=-2t+6．…（2分）
=．
令h（t）=（t-2）²（4-t）t，其中t∈（0，2）∪（2，4）．
∵h（t）=-（t⁴-8t³+20t²-16t），
∴h'（t）=-4（t³-6t²+10t-4）=．
由
解得，或．
于是函数h（t）在区间（0，2、（2，2+上是单调增函数；
在区间、上是单调减函数．
当和时，函数y=h（t）有极大值．
∴．
∴S（t）_max=54．…（3分）
分析：（Ⅰ） 利用两个向量平行的性质以及奇函数的定义，求出和c的值；
（Ⅱ） 由导数小于0得到函数的减区间即可；
（Ⅲ） 利用曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（x）（x-t），得（x-t）²（x+2t-6）=0，则x=t或x=-2t+6，而A，B不重合，则m=-2t+6，S（t）=|m-t|•|f（m）-f（t）|，=t（t-2）²（4-t），记k_PD =g（t），g′（t）=-（3t-2）（t-2），利用g′（t）的符号列表求出g（t）的最值即得．
点评：本题考查两个向量平行的性质，函数的单调性与导数的关系，以及利用导数求函数的最大值、最小值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．