Question

【题目】已知数列{an}满足an+1=2an﹣1（n∈N+），a1=2．
（1）求证：数列{an﹣1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{nan}的前n项和Sn（n∈N+）．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=2an﹣1（n∈N+），

∴an+1﹣1=2（an﹣1）（n∈N+），

又∵a1﹣1=2﹣1=1，

∴数列{an﹣1}是首项为1、公比为2的等比数列，

∴an﹣1=12n﹣1=2n﹣1，

∴an=2n﹣1+1；

（2）解：∵an=2n﹣1+1，

∴nan=n2n﹣1+n，

设Tn=120+221+322+…+n2n﹣1，

∴2Tn=121+222+323+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

两式相减得：﹣Tn=（1+21+22+23+…+2n﹣1）﹣n2n

= ﹣n2n

=（1﹣n）2n﹣1，

∴Tn=（n﹣1）2n+1，

∴Sn=Tn+ =（n﹣1）2n+1+

【解析】（1）通过对an+1=2an﹣1（n∈N+）变形可知数列{an﹣1}是首项为1、公比为2的等比数列，进而可得结论；（2）通过an=2n﹣1+1可知nan=n2n﹣1+n，利用错位相减法计算即得结论．
【考点精析】关于本题考查的等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和，需要了解通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能得出正确答案．