Question

17．设p：$\frac{2x-1}{x-1}≤0$，q：x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{1}{2}）$
• B． $[0，\frac{1}{2}）$
• C． $（0，\frac{1}{2}]$
• D． $[\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围

解答 解：由 $\frac{2x-1}{x-1}≤0$，得$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≤0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2x-1≥0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{2}$≤x＜1，所以p：$\frac{1}{2}$≤x＜1；
由x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0，
得：[x-（a+1）]（x-a）＜0，
即a＜x＜a+1，即q：a＜x＜a+1，
要使p是q的充分不必要条件，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{2}}\\{a+1≥1}\end{array}\right.$，解得0≤a＜$\frac{1}{2}$，
所以a的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$），
 故选：B．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用分数不等式和一元二次不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键．