【题目】如图,在以、
、
、
、
、
为顶点的五面体中,平面
平面
,
,四边形
为平行四边形,且
.
(1)求证:;
(2)若,
,直线
与平面
所成角为
,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)过作
交
于
,连接
,由面面垂直的性质可得
平面
,则
.则
,
,
为等腰直角三角形,据此可得
平面
,
.
(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,由题设可得平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,则锐二面角的余弦值为
.
试题解析:
(1)过作
交
于
,连接
,由平面
平面
,得
平面
,因此
.
∴,
,
,
∴,∴
,
由已知得
为等腰直角三角形,因此
,又
,
∴平面
,∴
.
(2)∵,
平面
,
平面
,∴
平面
,
∵平面平面
,∴
,
由(1)可得,
,
两两垂直,以
为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
,由题设可得
,进而可得
,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
可取,
设平面的法向量为
,则
,即
,
可取,
则
,
∴二面角的余弦值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校的特长班有名学生,其中有体育生
名,艺术生
名,在学校组织的一次体检中,该班所有学生进行了心率测试,心率全部介于
次/分到
次/分之间.现将数据分成五组,第一组
,第二组
,…,第五章
,按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三组的频率之比为
.
(1)求的值,并求这
名同学心率的平均值;
(2)因为学习专业的原因,体育生常年进行系统的身体锻炼,艺术生则很少进行系统的身体锻炼,若从第一组和第二组的学生中随机抽取一名,该学生是体育生的概率为,请将下面的列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为心率小于
次/分与常年进行系统的身体锻炼有关?说明你的理由.
心率小于60次/分 | 心率不小于60次/分 | 合计 | |
体育生 | 20 | ||
艺术生 | 30 | ||
合计 | 50 |
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着移动互联网的快速发展,基于互联网的共享单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运营公司的经营状况,对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计,并绘制了相应的拆线图.
(1)由拆线图可以看出,可用线性回归模型拟合月度市场占有率与月份代码
之间的关系.求
关于
的线性回归方程,并预测
公司2017年4月份(即
时)的市场占有率;
(2)为进一步扩大市场,公司拟再采购一批单车.现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的两款车型可供选择,按规定每辆单车最多使用4年,但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同.考虑到公司运营的经济效益,该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试,得到两款单车使用寿命频数表如下:
车型 报废年限 | 1年 | 2年 | 3年 | 4年 | 总计 |
| 20 | 35 | 35 | 10 | 100 |
| 10 | 30 | 40 | 20 | 100 |
经测算,平均每辆单车每年可以带来收入500元.不考虑除采购成本之外的其他成本,假设每辆单车的使用寿命都是整年,且以频率作为每辆单车使用寿命的概率.如果你是 公司的负责人,以每辆单车产生利润的期望值为决策依据,你会选择采购哪款车型?
(参考公式:回归直线方程为,其中
)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),圆
与圆
外切于原点
,且两圆圆心的距离
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆
的极坐标方程;
(2)过点的直线
与圆
异于点
的交点分别为点
,与圆
异于点
的交点分别为点
,且
,求四边形
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了推动数学教学方法的改革,学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲、乙两个班,每班各40人,甲班按原有模式教学,乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验,将甲、乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数再取整,绘制成如下茎叶图,规定不低于85分(百分制)为优秀,甲班同学成绩的中位数为74.
(1)求的值和乙班同学成绩的众数;
(2)完成表格,若有以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”的话,那么学校将扩大教学改革面,请问学校是否要扩大改革面?说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆:
,过
且与圆
相切的动圆圆心为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
交曲线
于
,
两点,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,且
,垂足为
(
,
,
,
为不同的四个点).
①设,证明:
;
②求四边形的面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】平面直角坐标系中,已知椭圆
(
)的左焦点为
,离心率为
,过点
且垂直于长轴的弦长为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点的直线与椭圆相交于不同两点
、
,求
面积的最大值.
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