Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的长轴长为6，且椭圆C与圆M：（x﹣2）2+y2= 的公共弦长为 ．
（1）求椭圆C的方程，
（2）过点P（0，2）作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于两点A，B，试判断在x轴上是否存在点D，使得△ADB为以AB为底边的等腰三角形，若存在，求出点D的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知：2a=6，则a=3，圆M：（x﹣2）2+y2= ，圆心（2，0），半径为 ，

由题意可知：椭圆经过点（2， ），代入椭圆方程： ，解得：b2=8，

∴椭圆的标准方程：

（2）

解：由题意可知直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（9k2+8）x2+36kx﹣36=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

假设存在点D（m，0）满足题意，

取AB中点M（x0，y0）则MB⊥AB，

由x0= =﹣ ，则y0=kx0+2= ，

则M（﹣ ， ），

由题意可知：kkMD=﹣ =﹣1，

整理得：9k2m+2k+2m=0，

∴m= =﹣ ≥﹣ ，

存在点D，且D点横坐标取值范围[﹣ ，+∞）

【解析】（1）由2a=6，则a=3，由圆的方程，可得椭圆过点（2， ），代入椭圆方程，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，求得AB的中点M点坐标，kkMD=﹣1，即可求得m的表达式，利用基本不等式的性质，即可求得点D的横坐标的取值范围．