(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F分别为AB.BC的中点.(Ⅰ)求证:EF∥面A1C1B．(Ⅱ)求B1D与平面A1C1B所成的角度数．(2)如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F.G.H分别为AA1.AB.BB1.B1C1的中点.求异面直线EF与GH所成的角．(3)如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.平面ABC1D1与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为AB、BC的中点，
（Ⅰ）求证：EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）求B₁D与平面A₁C₁B所成的角度数．
（2）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，G，H分别为AA₁，AB，BB₁，B₁C₁的中点，求异面直线EF与GH所成的角．
（3）如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABC₁D₁与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是多少？

【答案】分析：（1）（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，欲证EF∥面A₁C₁B，只需证明EF平行于平面A₁C₁B内的一条直线，利用空间向量证明

是平行向量，即可证明EF∥A₁C₁，而A₁C₁是平面A₁C₁B内的一条直线，所以EF∥面A₁C₁B．
（Ⅱ）欲求B₁D与平面A₁C₁B所成的角，只需证明DB₁⊥平面BA₁C₁，则B₁D与平面A₁C₁B所成的角为90°，利用空间向量证明
DB₁⊥平面BA₁C₁，先求出

，以及平面A₁C₁B中两个向量

，

，用计算

，

，都等于0，即可证明DB₁⊥平面BA₁C₁，求出B₁D与平面A₁C₁B所成的角的度数．
（2）欲求异面直线EF与GH所成的角，只需求出向量

的夹角，再结合异面直线所成角的范围判断异面直线EF与GH所成的角应为向量

夹角的补角．
（3）先求出平面ABC₁D₁的法向量，再求出正方体各面的法向量，平面ABC₁D₁的法向量与正方体各面的法向量所成角即为平面ABC₁D₁与正方体的各个面所成二面角的大小．
解答：解：设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系

，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1）
（1）（Ⅰ）∵E（1，

，0），F（

，1，0），∴

=（-

，

，0），
∵

=（-1，1，0），∴

，∴EF∥A₁C₁，
∵A₁C₁?平面A₁C₁B，∴EF∥面A₁C₁B
（Ⅱ）∵

=（1，1，1），

=（-1，1，0），

=（0，-1，1）
∴

=-1×1+1×1+1×0=0，

=-1×1+1×1+1×0=0
∴DB₁⊥A₁C₁，DB₁⊥A₁B，A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴DB₁⊥平面BA₁C₁，
∴B₁D与平面A₁C₁B所成的角度数为90°
（2）∵E（1，0，

），F（（1，

，0），G（1，1，

），H（

，1，1）
∴

=（0，

，-

），

=（-

，0，

）
∵cos＜

＞=

∴＜

＞=120°，异面直线所成的角范围为（0，

）
∴异面直线EF与GH所成的角为60°
（3）∵DA₁⊥AD₁，DA₁⊥AB，
∴DA₁⊥平面ABC₁D₁，
∴平面ABC₁D₁的法向量为

=（1，0，1）
由正方体的性质可知：平面ABCD的法向量为

=（0，0，1）；
平面AD₁的法向量为

=（0，1，0）；平面CD₁的法向量为

=（1，0，0）；
cos＜

＞=

，cos＜

＞=0，cos＜

＞=

，
∴平面ABC₁D₁与正方体的其它各个面所成二面角的大小分别是45°，90°，45°
点评：本题主要考查了在正方体中，线面平行的证明，异面直线所成角，线面角，二面角的计算，考查了学生的空间想象能力，转换能力，识图能力以及计算能力．

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