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    设函数f(x)=
    1
    3
    mx3+(4+m)x2，g(x)=alnx    ，其中a≠0．
    （ I ）若函数y=g（x）图象恒过定点P，且点P在y=f（x）的图象上，求m的值；
    （Ⅱ）当a=8时，设F（x）=f′（x）+g（x），讨论F（x）的单调性；
    （Ⅲ）在（I）的条件下，设G(x)=
    f(x)，x≤1
    g(x)，x＞1
    ，曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使△OPQ（O为原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？如果存在，求a的取值范围；如果不存在，说明理由．
    （I）令lnx=0，则x=1，即函数y=g（x）的图象过定点P（1，0），
    又点P在y=f（x）的图象上，所以f（1）=
    1
    3
    m+（4+m）=0，
    解得m=-3．
    （II）F（x）=mx2+2（4+m）x+8lnx，定义域为（0，+∞），
    F′（x）=2mx+（8+2m）+
    8
    x
    =
    2mx2+(8+2m)x+8
    x
    =
    (2mx+8)(x+1)
    x
    ．
    ∵x＞0，则x+1＞0，
    ∴当m≥0时，2mx+8＞0，F′（x）＞0，此时F（x）在（0，+∞）上单调递增，
    当m＜0时，由F′（x）＞0得0＜x＜-
    4
    m
    ，F′（x）＜0，得x＞-
    4
    m
    ，
    此时F（x）在（0，-
    4
    m
    ）上为增函数，在（-
    4
    m
    ，+∞）上为减函数，
    综上，当m≥0时，F（x）在（0，+∞）上为增函数，
    m＜0时，在（0，-
    4
    m
    ）上为增函数，在（-
    4
    m
    ，+∞）上为减函数．
    （III）由条件（I）知G（x）=
    -x3+x2，x≤1
    alnx，x＞1
    ，
    假设曲线y=G（x）上存在两点P、Q满足题意，则P、Q两点只能在y轴两侧，
    设P（t，G（t））（t＞0），则Q（-t，t3+t2），
    ∵∠POQ是以O为直角顶点的直角三角形，
    ∴
    OP
    •
    OQ
    =0    ，∴-t2+G（t）（t3+t2）=0①．
    （1）当0＜t≤1时，G（t）=-t3+t2，
    此时方程①为-t2+（-t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4-t2+1=0，
    此方程无解，满足条件的P、Q两点不存在．
    （2）当t＞1时，G（t）=alnt，
    方程①为：-t2+alnt•（t3+t2）=0，即
    1
    a
    =（t+1）lnt，
    设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则h′（t）=lnt+
    1
    t
    +1，
    当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，
    ∴h（t）的值域为（h（1），+∞）），即（0，+∞），
    ∴
    1
    a
    ＞0，∴a＞0．
    综上所述，如果存在满足条件的P、Q，则a的取值范围是a＞0．
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    1-a
    x
    -1    ．
    （Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的图象相切于点P，求点P的坐标；
    （Ⅱ）当0＜a＜
    1
    2
    时，求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅲ）当a=
    1
    3
    时，设函数g(x)=x2-2bx-
    5
    12
    ，若对于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，求实数b的取值范围．（e是自然对数的底，e＜
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    		x
         (x＞0)
    ，若f（a）＞1，则实数a的取值范围为
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    a＞1或a＜-2
    ．

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    1
    3
    (a-1)x3-
    1
    2
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    （Ⅰ）若y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴和直线x-2y=0围成的三角形面积等于
    1
    4
    ，求a的值；
    （II）当a＜2时，讨论f（x）的单调性．

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    (
    1
    3
    )    x    -8(x＜0)
    		x
    (x≥0)
    ，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（　　）

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