Question

已知数列{a_n}满足8a_n+1=a_n²+m（n，m∈N^*），且a₁=1．
（1）求证：当m=12时，1≤a_n＜a_n+1＜2；
（2）若a_n＜4对任意的n≥1（n∈N）恒成立，求m的最大值．

Answer 1

证明：（1）①当n=1时，a₁=1，又8a₂=12+a₁²，，
∴1=a₁＜a₂＜2．
②假设n=k时，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，
当n=k+1时，有8a_k+2=12+a_k+1²＜12+2²=16，
∴a_k+2＜2成立，
由假设a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，
∴a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，
∴1≤a_k+1＜a_k+2＜2．
故由①，②知，对任意n∈N^*都有1≤a_n＜a_n+1＜2成立．
（2）由于=，，
①当m＞16时，显然不可能使a_n＜4对任意n∈N^*成立，
②当m≤16时，a_n＜4对任意n∈N^*有可能成立，
当m=16时，a₁＜4，
假设a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．
所以m=16时，对任意n∈N^*都有a_n＜4成立，
所以m≤16时，a_n＜4，
故m的最大值是16．
分析：（1）求得当n=1时，根据a₁=1求得a₂，判断出1=a₁＜a₂＜2．进而假设n=k时，1≤a_k＜a_k+1＜2成立，求得n=k+1时，求得a_k+2＜2，由假设a_k²＜a_k+1²有8（a_k+2-a_k+1）=a_k+1²-a_k²＞0，整理得a_k+2＞a_k+1≥a_k≥1，最后综合证明原式．
（2）整理8a_n+1=a_n²+m得a_n+1-a_n=判断出结果大于或等于，进而判断出分析当当m＞16时，显然不可能使a_n＜4对任意n∈N^*成立，当m=16时，a₁＜4，假设a_k＜4，由8a_k+1=16+a_k²＜16+4²，a_k+1＜4．判断出m=16时，对任意n∈N^*都有a_n＜4成立，进而求得m的最大值为16．
点评：本题主要考查了根据数列的递推式判断数列的单调性和数列中的恒成立问题．考查了考生的推理和分析的能力．数列是高考的热点问题，每年必考要强化复习．