A. | $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6}$ | B. | -$\frac{\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{6}$ | D. | -$\frac{\sqrt{6}}{3}$-$\frac{1}{6}$ |
分析 由题意可得tan($α+\frac{π}{6}$)<0,结合cos(α+$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$求出$α+\frac{π}{6}$的范围,并求出sin(α+$\frac{π}{6}$),利用两角差的余弦求出cosα,再利用倍角公式得答案.
解答 解:∵A、B是锐角三角形两内角,则A+B$>\frac{π}{2}$,
∴sinA>cosB,sinB>cosA,
由题意可得,$\frac{cosB-sinA}{sinB-cosA}$=tan($α+\frac{π}{6}$)<0.
又cos(α+$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{3}$>0,$α+\frac{π}{6}$为第四象限角.
∴sin(α+$\frac{π}{6}$)=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴cosα=cos[($α+\frac{π}{6}$)-$\frac{π}{6}$]=cos($α+\frac{π}{6}$)cos$\frac{π}{6}$+sin($α+\frac{π}{6}$)sin$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+(-\frac{\sqrt{6}}{3})×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$.
∴cos2α=2cos2α-1=$2×(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6})^{2}-1$=$-\frac{\sqrt{6}}{3}-\frac{1}{6}$.
故选:D.
点评 本题考查任意角的三角函数定义,考查了二倍角的余弦公式,关键是“拆角配角”思想的应用,是中档题.
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A. | 2 | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | -2 | D. | -4 |
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