Question

16．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，过F₂作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F₁B与y轴交于点D，若$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{D{F}_{2}}$=0，则椭圆C的离心率等于$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 依据题意求出点F₁、F₂、D坐标，由$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{D{F}_{2}}$=0得到a、b、c的关系式即可，

解答 解：过F₂作x轴的垂线与C相交于A，B两点，则可令B（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
∵直线F₁B与y轴交于点D是线段F₁B的中点，∴D（0，$\frac{{b}^{2}}{2a}$），
$\overrightarrow{B{F}_{1}}=（-2c，-\frac{{b}^{2}}{a}）$，$\overrightarrow{D{F}_{2}}=（c，-\frac{{b}^{2}}{2a}）$，
∵$\overrightarrow{B{F}_{1}}$•$\overrightarrow{D{F}_{2}}$=0，∴b²=2ac⇒c²+2ac-a²=0⇒e²+2e-1=0⇒e=$\sqrt{2}$-1
故答案为：$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查了椭圆的离心率，属于基础题．