Question

如图，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AA₁⊥面ABC,AC⊥BC,E、F分别在线段上，B₁E=3EC₁，AC＝BC＝CC₁＝4.

（1）求证：BC⊥AC₁；
（2）试探究：在AC上是否存在点F，满足EF／／平面A₁ABB₁，若存在，请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析.

试题分析：本题主要以三棱柱为几何背景考查线线垂直,线面垂直、线面平行、面面平行等数学知识，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，考查学生的数形结合思想.第一问，由于AA₁⊥面ABC，所以利用线面垂直的性质得垂直面内的线BC，而，利用线面垂直的判定得面，所以BC垂直于面内的线；第二问，法一：先找到F点的位置，再证明，作出辅助线，因为，所以得到，而，即，所以且，所以四边形AFEG为平行四边形，所以，所以利用线面平行的判定得平面；法二：作出辅助线，利用线面平行的判定，可以推断出平面，平面，利用面面平行的判定，得面平面，所以得平面.
试题解析：(1)∵AA₁⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥AA₁.（1分）
又∵BC⊥AC，AA₁，AC?面AA₁C₁C，AA₁∩AC＝A，∴BC⊥面AA₁C₁C，（3分）
又AC₁?面AA₁C₁C，∴BC⊥AC₁.（4分）

(2)(法一)当AF＝3FC时，FE∥平面A₁ABB₁.（7分）
理由如下：在平面A₁B₁C₁内过E作EG∥A₁C₁交A₁B₁于G，连结AG.
∵B₁E＝3EC₁，∴，
又AF∥A₁C₁且，
∴AF∥EG且AF＝EG，
∴四边形AFEG为平行四边形，∴EF∥AG，（10分）
又EF?面A₁ABB₁，AG?面A₁ABB₁，∴EF∥平面A₁ABB₁.（12分）
(法二)当AF＝3FC时，FE∥平面A₁ABB₁.（9分）
理由如下：在平面BCC₁B₁内过E作EG∥BB₁交BC于G，连结FG.

∵EG∥BB₁，EG?面A₁ABB₁，BB₁?面A₁ABB₁，
∴EG∥平面A₁ABB₁.∵B₁E＝3EC₁，∴BG＝3GC，
∴FG∥AB，又AB?面A₁ABB₁，FG?面A₁ABB₁，
∴FG∥平面A₁ABB₁.
又EG?面EFG，FG?面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面A₁ABB₁.（11分）
∵EF?面EFG，∴EF∥平面A₁ABB₁.（12分）