Question

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点．
（1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂，求证：k₁•k₂为定值，并求出定值；
（2）求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标； 
（3）当

S△APO

PQ

最小时，求

AQ

•

AP

的值．

Answer 1

分析：（1）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）．由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0，由此可知k₁k₂=-4．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由题意知y₁=2x₁a+2，y₂=2x₂a+2，由此可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．
（3）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离 d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

．由引入手能够推导出

AQ

•

AP

的值．

解答：解：（1）设过A（a，0）与抛物线y=x²+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a）
由

y=k(x-a) y=x2+1

得x²-kx+（ka+1）=0∴△=k²-4（ka+1）=k₂-4ak-4=0
则k₁，k₂都是方程k²-4ak-4=0的解，故k₁k₂=-4
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y₁=2x₁（x-x₁）
则-y₁=2x₁（a-x₁）=2x₁a-2x₁²=2x₁a-2（y₁-1）∴y₁=2x₁a+2，同理y₂=2x₂a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）
（3）要使

S△APQ

| PQ |

最小，就是使得A到直线PQ的距离最小，而A到直线PQ的距离 d=

2a2+2

4a2+1

=

1

2

(

4a2+1+3

4a2+1

)=

1

2

(

4a2+1

+

3

4a2+1

)≥

3

当且仅当

4a2+1

=

3

4a2+1

即 a2=

1

2

时取等号设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由

y=2xa+2 y=x1+1

得x²-2ax-1=0，则x₁+x₂=2a，x₁x₂=-1，

AQ

•

AP

=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=（x₁-a）（x₂-a）+（2ax₁+2）（2ax₂+2）
=（1+4a²）x₁x₂+3a（x₁+x₂）+a²+4=-（1+4a²）+3a•2a+a²+4=3a²+3=

9

2

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系及方程的思想，解题时要认真审题，仔细解答．