Question

19．已知函数f（x）=sinωx+cosωx，若对任意实数x，存在实数x₀，使得f（x₀）≤f（x）≤f（x₀+2016）成立，则ω的最小值为（　　）

• A． $\frac{1}{1008}$
• B． $\frac{π}{1008}$
• C． $\frac{1}{2016}$
• D． $\frac{π}{2016}$

Answer 1

分析 由题意可得区间[x₀，x₀+2016]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），由2016≥$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$求得ω的最小值．

解答 解：显然要使结论成立，只需保证区间[x₀，x₀+2016]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，
又f（x）=sinωx+cosωx=$\sqrt{2}$sin（ωx+$\frac{π}{4}$），则2016≥$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$，
∴ω≥$\frac{π}{2016}$，
则ω的最小值为$\frac{π}{2016}$．
故选：D．

点评 本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．