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已知等差数列{an}的前n项和Sn能取到最大值,且满足:a9+3a11<0,a10•a11<0,对于以下几个结论:
①数列{an}是递减数列;
②数列{Sn}是递减数列
③数列{Sn}的最大项是S10
④数列{Sn}的最小的正数是S19
其中正确的结论的个数是
 
考点:命题的真假判断与应用
专题:等差数列与等比数列
分析:由前n项和Sn有最大值,可得数列{an}为递减数列,故①正确;设等差数列数列{an}的公差为d,可得2a1+19d<0,可得a10+a11<0,结合a10•a11<0,可得a10>0,a11<0,故③正确;又可得-9d<a1<-
9
2
d.令 Sn>0,且 Sn+1≤0,解不等式组可得19≤n≤19,∴n=19,故④正确;由二次函数的性质可得②错误.
解答: 解:由前n项和Sn有最大值,可得数列{an}为递减数列,故①正确;
设等差数列数列{an}的公差为d,则有a9+3a11=4a1+38d<0,
化简可得2a1+19d<0,可得a1<-
19
2
d,变形可得(a1+9d)+(a1+10d)=a10+a11<0,
结合a10•a11<0,可得a10>0,a11<0,故③正确;
又可得a10 =a1+9d>0,a11=a1+10d<0,故-9d<a1<-10d.
综上可得-9d<a1<-
19
2
d,令 Sn>0,且 Sn+1≤0,可得na1+
n(n-1)
2
d>0,且 (n+1)a1+
n(n+1)
2
d≤0
化简可得 a1+
n-1
2
d<0,且a1+
n+1
2
d>0,即 n<-
2a1
d
+1,且 n>-
2a1
d


再由-9d<a1<-
19d
2
,可得 18<-
2a1
d
<19,∴19≤n≤19,∴n=19,故④正确;
由二次函数的性质可得②错误,综上①③④是正确的.
故答案为:①③④.
点评:题考查等差数列的性质,涉及二次函数的性质和不等式的性质,属中档题.
练习册系列答案
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下列每组两个函数可表示为同一函数的序号为
 

①f(x)=x,g(t)=
t2

②f(x)=
x2-4
x-2
,g(x)=x+2;
③f(x)=x,g(x)=
3x3

④f(x)=lgx2,g(x)=2lgx.

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(1)若A<B,则sinA<sinB;        (2)sinA<sinB若,则A<B;
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(5)若A<B,则tan
A
2
<tan
B
2

其中正确命题的序号是
 

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3
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(1)求圆C的标准方程;
(2)若圆C上有两点M、N关于直线x+2y-1=0对称,且|MN|=2
3
,求直线MN的方程;
(3)设过点P(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l,使得直线OD与PC恰好平行?如果存在,求出l的方程;如果不存在,请说明理由.

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求值:(1)sin105°;     (2)cos15°.

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1
2
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(Ⅰ)有人被调剂的概率;
(Ⅱ)停业的店铺数X的分布列和数学期望.

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(1)试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ);
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