Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

2

，点（1，0）在函数f(x)=

1

2

anx2-an+1x的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_2n-1，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点（1，0）在函数f（x）上，可以得到关系式a_n+1=

1

2

a_n，且a₁=

1

2

，在利用求解等比数列通项公式的方法求解即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到数列a_n为等比数列，将a_n的通项公式代入b_n=log₂a_2n-1中即可求得b_n的通项公式，进而求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f（1）=

1

2

a_n-a_n+1=0，解得a_n+1=

1

2

a_n，
∵a1=

1

2

≠0
所以数列{a_n}是首项为

1

2

、公比为

1

2

的等比数列．
所以通项公式an=

1

2n

．
（Ⅱ）由b_n=log₂a_2n-1=log₂a_2n-1=1-2n
所以数列{b_n}的前n项和T_n=（-1）+（-3）+（-5）+…+（1-2n）=-n²．

点评：本题主要考查了数列通项公式和前n项和的求解问题，解题时注意整体思想和转化思想的运用，平时多练习，注意解题步骤，才能够做到举一反三，属于中档题．