Question

1．设f（x）是定义在R 上的奇函数，且对于任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

Answer 1

分析 （1）令x=x-2得出f（x）=-f（x-2），由已知得f（x）=-f（x+2），于是f（x+2）=f（x-2），故而f（x）=f（x+4），得出周期为4；
（2）利用函数的奇偶性求出f（x）在[-2，0]上的解析式，再利用函数周期得出f（x）在[2，4]上的解析式；
（3）计算f（0），f（1），f（2），f（3），根据T=4得出f（4k+i），k∈N，i=0，1，2，3．

解答 解：（1）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x-2+2）=-f（x-2），即f（x）=-f（x-2），
又f（x）=-f（x+2），
∴f（x+2）=f（x-2），
∴f（x）=f（x+4）．
∴f（x）的最小正周期是4．
（2）∵f（x）是奇函数，且x=[0，2]时，f（x）=2x-x²，
∴当x∈[-2，0]时，-x∈[0，2]．
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x（x∈[-2，0]）．
∴当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f（x-4）=（x-4）²+2（x-4）=x²-6x+8，
又T=4，∴f（x）=f（x-4），
∴f（x）=x²-6x+8（x∈[2，4]）．
（3）∵T=4，
∴f（4k）=f（0）=0，f（4k+1）=f（1）=1，f（4k+2）=f（2）=0，f（4k+3）=f（3）=-1．k∈N．
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2015）=f（2013）+f（2014）+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）=0．

点评 本题考查了函数的周期，周期函数的应用，属于中档题．