Question

【题目】已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式 ＞1恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.[15，+∞）
B.（﹣∞，15]
C.（12，30]
D.（﹣12，15]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵ 的几何意义为： 表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，
∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．
不等式 ＞1恒成立，
∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，
故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．
由函数的定义域知，x＞﹣1，
∴f′（x）= ＞1 在（1，2）内恒成立．
即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．
由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，
故 x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，
∴a≥15
∴a∈[15，+∞）．
故选A．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数单调性的判断方法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．