已知中心在原点的双曲线的一个焦点是,一条渐近线的方程是.
(1)求双曲线的方程;(2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点,且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的取值范围.
(1);(2).
解析试题分析:(1)先设出双曲线方程,再将焦点是,一条渐近线的方程是代入解出相关参数,即得双曲线的方程为;(2)先将直线方程设出,再与双曲线方程联立,得到的方程根的判别式.再由根与系数的关系得出中点坐标的表达式,从而得到线段的垂直平分线的方程.将其与与两坐标轴的交点找出,由与两坐标轴围成的三角形的面积为得到,代入根的判别式中可得到关于的不等式.,解得或,从而得到的取值范围.
试题解析:(1)设双曲线的方程为,
由题设得解得, 所以双曲线的方程为;
(2)解:设直线的方程为,点,的坐标满足方程组,将①式代入②式,得,
整理得,
此方程有两个不等实根,于是,且,
整理得......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
,,
从而线段的垂直平分线的方程为,
此直线与轴,轴的交点坐标分别为,,
由题设可得,整理得,,
将上式代入③式得,
整理得,,解得或,
所以的取值范围是.
考点:1.双曲线的几何性质;2.直线与圆锥曲线的位置关系;3.解不等式.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某厂生产产品x件的总成本(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:,生产100件这样的产品单价为50万元,产量定为多少件时总利润最大?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数,且的图象在它们与坐标轴交点处的切线互相平行.
(1)求的值;
(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围;
(3)对于函数与公共定义域内的任意实数,我们把的值称为两函数在处的偏差,求证:函数与在其公共定义域内的所有偏差都大于2
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