Question

【题目】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）．
（1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？

Answer 1

【答案】
（1）解：设投资为x万元，

A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，

由题意，f（x）=k1x，g（x）= ，k1，k2≠0，x≥0，

又由图知f（1.8）=0.45，g（4）=2.5；解得 ，k2= ，

∴f（x）= ，x≥0．g（x）=

（2）解：设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，

记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，

则y= ，x≥0．

设 ，则x=t2，0≤t≤ ．

∴y=﹣ ，

当t= ，也即x= 时，y取最大值 ．

答：对股票等风险型产品B投资 万元，对债券等稳键型产品A投资 万元时，

可获最大收益 万元

【解析】（1）设投资为x万元，A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，由题意，f（x）=k1x，g（x）= ，k1 ， k2≠0，x≥0，再由图象能求出A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式．（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10﹣x）万元，记家庭进行理财投资获取的收益为y万元，则y= ，x≥0．利用换元法能求出怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，并能求出其最大收益为多少万元．