Question

设圆C的圆心在双曲线

x2

a2

-

y2

2

=1（a＞0）的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C被直线l：x-

3

y=0截得的弦长等于2，则a=

 

．

Answer 1

分析：先利用圆与双曲线的渐近线相切得圆的半径，再利用圆C被直线l：x-

3

y=0截得的弦长等于2，求出a与圆心到直线l：x-

3

y=0的距离d之间的等量关系即可求出a．

解答：解：设圆心坐标为（

a2+2

，0），因为双曲线的渐近线y=

2

a

x?

2

x-ay=0．
由圆与双曲线的渐近线相切得圆心到直线的距离等于半径，即得r=

2  2+a2

2+a2

=

2

，
又因为圆C被直线l：x-

3

y=0截得的弦长等于2，
故圆心到直线l：x-

3

y=0的距离d=1=

2+a2

1+( 3 )2

?a²=2又a＞0，故a=

2

．
故答案为 

2

．

点评：本题主要考查椭圆与双曲线的几何性质，直线的方程，直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．