Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为， ， 为椭圆的上顶点， 为等边三角形，且其面积为， 为椭圆的右顶点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆相交于两点（不是左、右顶点），且满足，试问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）直线过定点，定点坐标为.

【解析】试题分析：⑴由为等边三角形，且其面积为，可以得， ，从而计算出结果；⑵设， ，联立直线与椭圆方程得， ，又因为， ，代入化简得，解出与的关系代入求解即可

解析：（Ⅰ）由已知

∴．∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）设， ，

联立得，

又，

因为椭圆的右顶点为，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

解得： ， ，且均满足，

当时， 的方程为，直线过定点，与已知矛盾；

当时， 的方程为，直线过定点．

所以，直线过定点，定点坐标为