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11.已知平面向量$\vec a$与$\vec b$满足|$\vec a+\vec b$|=1,|${\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{2}$,且<$\vec a$+$\vec b$,$\vec a$-$\vec b$>=$\frac{π}{4}$,则|$\vec a-5\vec b}$|=$\sqrt{10}$.

分析 根据条件可以得出${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=1$,${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=2$,${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$,这三个式子联立便可求出$|\overrightarrow{a}|,|\overrightarrow{b}|$,及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值,进而可以求出$(\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b})^{2}$的值,从而求出$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$的值.

解答 解:根据条件$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=1$;
即${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=1$①;
$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=2$②,$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$③;
∴①②③联立便可求出$|\overrightarrow{a}|=\frac{\sqrt{5}}{2},|\overrightarrow{b}|=\frac{1}{2}$,$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{4}$;
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+25{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$\frac{5}{4}+\frac{10}{4}+\frac{25}{4}$
=10;
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{10}$.
故答案为:$\sqrt{10}$.

点评 考查向量数量积的运算及计算公式,向量夹角的表示符号,要求向量长度而求向量长度平方的方法.

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