Question

11．已知平面向量$\vec a$与$\vec b$满足|$\vec a+\vec b$|=1，|${\vec a$-$\vec b}$|=$\sqrt{2}$，且＜$\vec a$+$\vec b$，$\vec a$-$\vec b$＞=$\frac{π}{4}$，则|$\vec a-5\vec b}$|=$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 根据条件可以得出${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=1$，${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=2$，${\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$，这三个式子联立便可求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$，及$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，进而可以求出$（\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}）^{2}$的值，从而求出$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：根据条件$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）=1$；
即${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow{b}}^{2}=1$①；
$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=2$②，$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}=1$③；
∴①②③联立便可求出$|\overrightarrow{a}|=\frac{\sqrt{5}}{2}，|\overrightarrow{b}|=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-\frac{1}{4}$；
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-10\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+25{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$\frac{5}{4}+\frac{10}{4}+\frac{25}{4}$
=10；
∴$|\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{10}$．
故答案为：$\sqrt{10}$．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的表示符号，要求向量长度而求向量长度平方的方法．