Question

【题目】设函数 （a∈R）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）曲线y=xf（x） 是否存在经过原点的切线，若存在，求出该切线方程，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），

，

令h（x）=x2+2﹣2lnx，则 ，

故函数h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

h（x）min=h（1）=3＞0，

即当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0

所以，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；

（2）解：不妨设曲线y=xf（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，

则有y=xf（x），y′=[xf（x）]′，即y′=x﹣a+ ，

可得切线的斜率为k=m﹣a+ ，

切线的方程为y﹣（ m2﹣am+lnm）=（m﹣a+ ）（x﹣m），

代入（0，0），化为 m2﹣lnm+1=0，（*）

记 ，则 ，

令g'（x）=0，解得x=1．

当0＜x＜1时，g'（x）＜0，当x＞1时，g'（x）＞0，

∴ 是g（x）的最小值，即当x＞0时， ．

由此说明方程（*）无解，

∴曲线y=f（x）没有经过原点的切线．

【解析】（1）求出f（x）的导数，可令h（x）=x2+2﹣2lnx，再求导数和单调区间，可得最小值，即可判断f（x）的单调性；（2）不妨设曲线y=xf（x）在点（m，mf（m））（m＞0）处的切线经过原点，求出y=xf（x）的导数，可得切线的斜率，求得切线方程，代入原点，可得 m2﹣lnm+1=0，（*），记 ，求出导数，判断单调性，即可得到方程解的情况．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．