Question

在平面直角坐标系中，已知三点A（-2，0）、B（2，0）C(1，

3

)，△ABC的外接圆为圆，椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的右焦点为F．
（1）求圆M的方程；
（2）若点P为圆M上异于A、B的任意一点，过原点O作PF的垂线交直线x=2

2

于点Q，试判断直线PQ与圆M的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析：（1）解法一：设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，因为圆M过A，B，C，所以

(-2)2-2D+F=0 22+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

，由此能求出圆M方程．
解法二：由题意知A（-2，0），B（2，0），C(1，

3

)，所以K_AC=

3

3

，KBC=-

3

，则K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，由此知以外接圆M以原点O为圆心，线段AB为直径，从而得到其方程．
（2）直线PQ与圆M相切．证明这个结论：由椭圆E的方程

x2

4

+

y2

2

=1，可知F(

2

，0)，设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），则y₀²=4-x₀²．然后通过分类讨论知当x₀≠±2时，直线PQ始终与圆M相切．

解答：解：（1）法一设圆M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因为圆M过A，B，C，
所以

(-2)2-2D+F=0 22+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

（4分）
解得D=E=0，F=-4，故圆M方程为x²+y²=4．（6分）
解法二：由题意知A(-2，0)，B(2，0)，C(1，

3

)，
所以K_AC=

3

3

，KBC=-

3

，则K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，（4分）
所以外接圆M以原点O为圆心，线段AB为直径，故其方程为x²+y²=4．（6分）
（2）直线PQ与圆M相切．
下证明这个结论：由椭圆E的方程

x2

4

+

y2

2

=1，可知F(

2

，0)，（8分）
设P（x₀，y₀）（x₀≠±2），则y₀²=4-x₀²．
当x₀=

2

2时，P(

2

，±

2

)，Q(2

2

，0)，KOP=1，KPQ=-1，
所以OP⊥PQ所以直线PQ与圆M相切．（10分）
当x₀≠

2

6时，k_FP=

y0

x0- 2

，kOQ=-

x0- 2

y0

7，
所以直线OQ的方程为y=-

x0- 2

y0

x，因此，
点Q的坐标为(2

2

，-

2 2 x0-4

y0

)，
所以k_PQ=-

x0

y0

，（12分）
所以当x₀=0时，k_PQ=0，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切；
当x₀≠0时，k_PQ•k_OP=-1，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切．
综上，当x₀≠±2时，总有OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆M相切．（16分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用和分类讨论思想的合理运用．