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在平面直角坐标系中,已知三点A(-2,0)、B(2,0)C(1,
3
)
,△ABC的外接圆为圆,椭圆
x2
4
+
y2
2
=1
的右焦点为F.
(1)求圆M的方程;
(2)若点P为圆M上异于A、B的任意一点,过原点O作PF的垂线交直线x=2
2
于点Q,试判断直线PQ与圆M的位置关系,并给出证明.
分析:(1)解法一:设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆M过A,B,C,所以
(-2)2-2D+F=0
22+2D+F=0
1+3+D+
3
E+F=0
,由此能求出圆M方程.
解法二:由题意知A(-2,0),B(2,0),C(1,
3
)
,所以KAC=
3
3
KBC=-
3
,则KAC•KBC=-1
所以AC⊥BC,所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,由此知以外接圆M以原点O为圆心,线段AB为直径,从而得到其方程.
(2)直线PQ与圆M相切.证明这个结论:由椭圆E的方程
x2
4
+
y2
2
=1,可知F(
2
,0)
,设P(x0,y0)(x0≠±2),则y02=4-x02.然后通过分类讨论知当x0≠±2时,直线PQ始终与圆M相切.
解答:解:(1)法一设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
因为圆M过A,B,C,
所以
(-2)2-2D+F=0
22+2D+F=0
1+3+D+
3
E+F=0
(4分)
解得D=E=0,F=-4,故圆M方程为x2+y2=4.(6分)
解法二:由题意知A(-2,0),B(2,0),C(1,
3
)

所以KAC=
3
3
KBC=-
3
,则KAC•KBC=-1
所以AC⊥BC,所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形,(4分)
所以外接圆M以原点O为圆心,线段AB为直径,故其方程为x2+y2=4.(6分)
(2)直线PQ与圆M相切.
下证明这个结论:由椭圆E的方程
x2
4
+
y2
2
=1,可知F(
2
,0)
,(8分)
设P(x0,y0)(x0≠±2),则y02=4-x02
当x0=
2
2时,P(
2
,±
2
),Q(2
2
,0),KOP=1,KPQ
=-1,
所以OP⊥PQ所以直线PQ与圆M相切.(10分)
当x0
2
6时,kFP=
y0
x0-
2
kOQ=-
x0-
2
y0
7,
所以直线OQ的方程为y=-
x0-
2
y0
x,因此,
点Q的坐标为(2
2
,-
2
2
x0-4
y0
)

所以kPQ=-
x0
y0
,(12分)
所以当x0=0时,kPQ=0,OP⊥PQ,直线PQ始终与圆M相切;
当x0≠0时,kPQ•kOP=-1,OP⊥PQ,直线PQ始终与圆M相切.
综上,当x0≠±2时,总有OP⊥PQ,故直线PQ始终与圆M相切.(16分)
点评:本题考查圆锥曲线的性质和应用,解题时要注意公式的合理运用和分类讨论思想的合理运用.
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π
2
2
)
,且|
AC
|=|
BC
|

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(2)设α>0,0<β<
π
2
,且α+β=
2
3
θ
,求y=2-sin2α-cos2β的最小值.

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