Question

17、集合S={1，2，3，…，20}的4元子集T={a₁，a₂，a₃，a₄}中，任意两个元素的差的绝对值都不为1，这样的4元子集T的个数为

2380

． （用数字作为答案）

Answer 1

分析：不妨设 a₁＜a₂＜a₃＜a₄，有 a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，a₄-a₃≥2，a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相当于从1，2，3，4，…17中任意选出的4个，故所有的取法种数是 C₁₇⁴，运算求得结果．

解答：解：不妨设 a₁＜a₂＜a₃＜a₄，由于任意两个元素的差的绝对值都不为1，故
a₂-a₁≥2，a₃-a₂≥2，a₄-a₃≥2，将a₂，a₃，a₄分别减去1，2，3，后，
这时，a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3是两两不等且至少相差1的4个正整数，
故 a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相当于从1，2，3，4，…17中任意选出的4个，
故所有的取法种数是 C₁₇⁴=2380，
故答案为2380．

点评：本题考查组合及组合数公式的应用，判断a₁，a₂-1，a₃-2，a₄-3相当于从1，2，3，4，…17中任意选出的4个，是解题的关键．