Question

12、已知函数f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行，则函数f（x）的单调减区间为

（0，2）

．

Answer 1

分析：对函数f（x）求导，根据导数的几何意义求出ab的值确定函数f（x）的解析式，最后根据导数小于0时原函数单调递减可得答案．

解答：解：由函数f（x）=x²（ax+b）在x=2处取得极值
则 f'（2）=12a+4b=0
由图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行
则 f'（1）=3a+2b=-3
联立解得 a=1，b=-3
代入，得 f（x）=x²（ax+b）=x³-3x²
此函数的定义域为（-∞，∞）
f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0，解得 x₁=0，x₂=2
由x₁=0，x₂=2将（-∞，∞）分成三个区间（-∞，0），（0，2），（2，∞）；
在区间（-∞，0）和（2，∞）上f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间（-∞，0]和[2，∞）上是单调增加的；
在区间（0，2）上f′（x）＜0，所以函数f（x）在区间（0，2）上是单调减少的
故答案为：（0，2）

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．