Question

（2009•大连二模）电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有六个选项，但都只有一个选项是正确的．正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：①参与者可任意选择回答问题的顺序；②如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止．一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题．试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．

Answer 1

分析：随机猜对问题A的概率p₁=

1

4

，随机猜对问题B的概率p₂=

1

6

，回答问题的顺序有两种：（1）先回答问题A，再回答问题B．
参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n，则P（ξ=0）=1-p₁=

3

4

，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=

5

24

，P（ξ=m+n）=p₁p₂=

1

24

．Eξ=0×

3

4

+m×

5

24

+（m+n）×

1

24

=

m

4

+

n

24

；（2）先回答问题B，再回答问题A．参与者获奖金额η可取0，n，m+n．，则P（η=0）=1-p₂=

5

6

，P（η=n）=p₂（1-p₁）=

1

8

，P（η=m+n）=p₂p₁=

1

24

．Eη=0×

5

6

+n×

1

8

+（m+n）×

1

24

=

m

24

+

n

6

．由此能求出结果．

解答：解：随机猜对问题A的概率p₁=

1

4

，随机猜对问题B的概率p₂=

1

6

，
回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
（1）先回答问题A，再回答问题B．
参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n．，则
P（ξ=0）=1-p₁=

3

4

，P（ξ=m）=p₁（1-p₂）=

5

24

，
P（ξ=m+n）=p₁p₂=

1

24

．
Eξ=0×

3

4

+m×

5

24

+（m+n）×

1

24

=

m

4

+

n

24

．
（2）先回答问题B，再回答问题A．
参与者获奖金额η可取0，n，m+n．，则
P（η=0）=1-p₂=

5

6

，P（η=n）=p₂（1-p₁）=

1

8

，
P（η=m+n）=p₂p₁=

1

24

．
Eη=0×

5

6

+n×

1

8

+（m+n）×

1

24

=

m

24

+

n

6

．
Eξ-Eη=（

m

4

+

n

24

）-（

m

24

+

n

6

）=

5m-3n

24

，
于是，当

m

n

＞

3

5

时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；
当

m

n

=

3

5

时，Eξ=Eη，两种顺序获奖的期望值相等；
当

m

n

＜

3

5

时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．

点评：本题考查概率在生产实际中的运用，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，仔细求解，注意合理地进行等价转化．