Question

某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t，t∈[0，24）．
（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；
（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：计算题,应用题,三角函数的求值

分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9-2sin（

π

12

t+

π

3

），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；
（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．

解答： 解：（1）f（t）=9-

3

cos

π

12

t-sin

π

12

t，t∈[0，24），
则f（t）=9-2（

3

2

cos

π

12

t+

1

2

sin

π

12

t）
=9-2sin（

π

12

t+

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤

π

12

t+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，
由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．
则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；
（2）令f（t）≤10，则9-2sin（

π

12

t+

π

3

）≤10，
即有sin（

π

12

t+

π

3

）≥-

1

2

，
则-

π

6

+2kπ≤

π

12

t+

π

3

≤

7π

6

+2kπ，
解得24k-6≤t≤24k+10，k为整数，
由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，
故在10＜t＜18，实验室需要降温．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．