由一个小区历年市场行情调查得知.某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P与上市时间t的关系大致如图(1)所示的折线ABCDE表示.销售价格Q与上市时间t的大致关系如图(2)所示的抛物线段GHR表示．.Q(t)关于t的函数关系式.并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份?中由四条线段所在直线围成的平面区域为M.动点P.求z=x-5y的最大值,.将动点P(x.y)所满足� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量P（t）（单位：吨）与上市时间t（单位：月）的关系大致如图（1）所示的折线ABCDE表示，销售价格Q（t）（单位：元/千克）与上市时间t（单位：月）的大致关系如图（2）所示的抛物线段GHR表示（H为顶点）．
（Ⅰ）请分别写出P（t），Q（t）关于t的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（Ⅱ）图（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为M，动点P（x，y）在M内（包括边界），求z=x-5y的最大值；
（Ⅲ）由（Ⅱ），将动点P（x，y）所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如1≤2x-3y≤3类比为1≤

≤3），试列出P（x，y）所满足的条件，并求出相应的最大值．

分析：（I）根据函数图象写出函数P（t），Q（t）的解析式，则销售额为P（t）•Q（t），然后利用导数研究函数的单调性，从而求出最值；
（II）将目标函数z=x-5y用（x+y）与（x-y）线性表示，然后根据不等式的基本性质进行求解即可；
（III）类比到乘法有已知

5≤xy≤11

1≤

≤7

，求z=

的最大值，然后根据

=（xy）^A•（

）^B求出A和B的值，最后根据不等式的基本性质进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）P(t)=

-t+5

&0≤t≤3

t-1

&3＜t≤6，

-t+11

&6＜t≤9，

t-7

&9＜t≤12

Q(t)=-

(t-4)2+6

&(0≤t≤12

．P(t)•Q(t)=(t-1)[-

(t-4)2+6]（3＜t≤6）
(P(t)•Q(t))′=-

[(t-3)2-33]＞0在t∈（3，6]恒成立，所以函数在（3，6]上递增
当t=6时，[P（t）•Q（t）]_max=28.75．
∴6月份销售额最大为34500元．
（Ⅱ）

5≤x+y≤11

1≤x-y≤7

，z=x-5y．
令x-5y=A（x+y）+B（x-y），则

A+B=1

A-B=-5

⇒

A=-2

B=3

，
∴z=x-5y=-2（x+y）+3（x-y）．由-22≤-2（x+y）≤-10，3≤3（x-y）≤21，
∴-19≤z≤11，则（z）_max=11．
（Ⅲ）类比到乘法有已知

5≤xy≤11

1≤

≤7

，求z=

的最大值．由

=（xy）^A•（

）^B

A+B=1

A-B=-5

⇒

A=-2

B=3

．
∴

121

≤(xy)-2≤

，1≤（xy）³≤343
∴

121

≤z≤

343

，则（z）_max=

343

．

点评：本题主要考查了分段函数的应用，以及研究目标函数的最值问题，同时考查了类比推理，属于中档题．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>