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    在直径为AB的半圆形区域内,划出一个三角形区域,使三角形的一边为AB,顶点C在半圆上,其他两边分别为6米和8米.先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN,其中,DE在AB上,下图的设计方案是使AC =8米,BC =6米.

    图2-5-20

    （1）求△ABC的边AB上的高h.

    （2）设DN =x,当x取何值时,水池DEFN的面积最大？

    （3）实际施工时,发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.

    思路分析:（1）利用三角形的面积,即斜边×斜边上的高=两直角边的积;（2）求最值问题时,利用三角形相似得到比例式,转变成二次函数即可.

    解:（1）∵直径AB为△ABC的斜边,?

    ∴AB = =10米.?

    ∴h = =4.8米.?

    （2）∵=,∴.?

    又∵=,?

    ∴S矩形DEFN?=  (8- x)=- x2+10x =- .?

    ∴当时,S max=12.?

    （3）∵BC2=OB·AB,∴OB =3.6米.?

    ∵=,∴BE =1.8米.?

    同理,AD =3.2米,?

    ∴AC =6米,BC =8米即可.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的边长为x，面积为S2，将比值
    S1
    S2
    称为“规划合理度”．
    （1）求证：x=
    2asin2θ
    2+sin2θ
    ．
    （2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的边长为x，面积为S2，将比值数学公式称为“规划合理度”．
    （1）求证：数学公式．
    （2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在直径为AB的半圆形区域内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，其他两边分别为6米和8米.先要建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，图2-5-20的设计方案是使AC=8米，BC=6米.

    图2-5-20

    （1）求△ABC的边AB上的高h.

    （2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

    （3）实际施工时，发现在AB上距B点1.85米的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树.

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年江苏省南京市金陵中学高三（上）段考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，某小区准备绿化一块直径为AB的半圆形空地，点C在半圆弧上，半圆内△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS内部为一水池，其余地方种花，若AB=2a，∠CAB=θ，设△ABC的面积为S1，正方形PQRS的边长为x，面积为S2，将比值称为“规划合理度”．
    （1）求证：．
    （2）当a为定值，θ变化是，求“规划合理度”的最小值及此时角θ的大小．

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