Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC为正三角形．

（Ⅰ）证明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：如图，

取AC中点O，连接PO，BO，

∵PA=PC，∴PO⊥AC，

又∵底面ABC为正三角形，∴BO⊥AC，

∵PO∩OB=O，∴AC⊥平面POB，则AC⊥PB；

（Ⅱ）解：∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，

PO⊥AC，∴PO⊥平面ABC，

以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

∵AC=PC=2，∴P（0，0， ），B（0， ，0），C（﹣1，0，0）， ，

，

设平面PBC的一个法向量为 ，

由 ，取y=﹣1，得 ，

又 是平面PAC的一个法向量，

∴cos＜ ＞= ．

∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为 ．

【解析】（1）取AC中点O，连接PO，BO，根据等腰三角形三线合一得出PO⊥AC，再由ABC为正三角形BO⊥AC，从而得到AC⊥平面POB，则AC⊥PB，（2）以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，用法向量法求出二面角的余弦值.
【考点精析】掌握空间中直线与直线之间的位置关系是解答本题的根本，需要知道相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．