Question

（理）2011年3月11日，日本地震引起了核泄漏，现有A组、B组两组反应堆，据有关技术部门分析，A组中的两个反应堆爆炸的概率都是

2

3

，B组中两个反应堆爆炸的概率都是

1

2

，假设这四个反应堆是否爆炸互不影响．
（1）求A组、B组中各一个反应堆爆炸的概率．
（2）求A、B两组反应堆爆炸的个数 ξ 的分布列与期望．

Answer 1

分析：（1）设A_k表示A组中k个反应堆爆炸，则k=0，1，2；B_i表示B组中i个反应堆爆炸，则i=0，1，2．由题意知P（A_k）=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P（B_i）=

C

1 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i，由此能求出A组、B组中各有一个反应堆爆炸的概率．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）设A_k表示A组中k个反应堆爆炸，则k=0，1，2；
B_i表示B组中i个反应堆爆炸，则i=0，1，2．
由题意知P（A_k）=

C

k 2

(

2

3

)k(

1

3

)2-k，P（B_i）=

C

1 2

(

1

2

)i(

1

2

)2-i，
∴P（A₀）=

C

0 2

(

2

3

)0(

1

3

)2=

1

9

，
P（A₁）=

C

1 2

(

2

3

)(

1

3

)=

4

9

，
P（A₂）=

C

2 2

(

2

3

)2=

4

9

．
P（B₀）=

C

0 2

(

1

2

)2=

1

4

，
P（B₁）=

C

1 2

(

1

2

)(

1

2

)=

1

2

，
P（B₂）=

C

2 2

(

1

2

)2=

1

4

．
A组、B组中各有一个反应堆爆炸的概率为：
P（A₁•B₁）=P（A₁）•P（B₁）=

4

9

×

1

2

=

2

9

．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P（ξ=0）=P（A₀•B₀）=

1

9

×

1

4

=

1

36

，
P（ξ=1）=P（A₀•B₁）+P（A₁•B₀）=

1

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

1

6

，
P（ξ=2）=P（A₀•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B₀）
=

1

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

=

13

36

，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）=

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

2

=

1

3

，
P（ξ=4）=P（A₂•B₂）=

4

9

×

1

4

=

1

9

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 36	1 6	13 36	1 3	1 9

∴Eξ=0×

1

36

+1×

1

36

+2×

13

36

+3×

1

3

+4×

1

9

=

7

3

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．